[그래프] 10 - 1 (1) 서로소 집합 알고리즘

크루스칼 알고리즘 - 그리디 알고리즘

위상 정렬 알고리즘 - 큐/ 스택 자료구조 이용

 

	그래프	트리
방향성	방향 그래프 혹은 무방향 그래프	방향 그래프
순환성	순환 및 비순환	비순환
루트 노드 존재 요부	루트 노드가 없음	루트 노드가 존재
노드간 관계성	부모가 자식 관계 없음	부모와 자식 관계
모델의 종류	네트워크 모델	계층 모델

노드의 개수가 적을 때 ➡ 플로이드 워셜

노드와 간선의 개수가 오무 많을 때 ➡ 우선순위큐 이용 다익스트라 

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서로소 집합 ( Disjoint Sets)

: 공통 원소가 없는 두 집합

 

서로소 집합 자료구조 (union-find 합치기 찾기 구조)

• 서로소 부분 집합들로 나누어진 원소들의 데이터를 처리하기 위한 자료구조.
• union (합집합) ➡ 2개의 원소가 포함된 집합을 하나의 집합으로 합치는 연산
• find (찾기) ➡ 특정한 원소가 속한 집합이 어떤 집합인지 알려주는 연산
• 트리 자료구조 이용
• union 연산을 효과적으로 수행하기 위해 '부모 테이블'을 항상 가지고 있어야 한다.
• 루트를 찾기 위해서는 재귀적으로 부모를 거슬러 올라가야 한다.

트리를 이용한 서로소 집합 계산 알고리즘

1. union 연산을 확인하여, 서로 연결된 두 노드 A, B를 확인한다.

     1-1. A와 B의 루트 노드 A', B'를 각각 찾는다.

     1-2. A'를 B'의 부모 노드로 설정한다(B'가 A'를 가리키도록 한다.)

2. 모든 union 연산을 처리할 때까지 1번 과정을 반복한다.

 

 

# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
    # 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
    if parent[x] != x:
        return find_parent(parent, parent[x])
    return x


# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
    a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    if a < b:
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b


# 노드와 개수와 간선(union 연산)의 개수 입력받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1)  # 부모 테이블 초기화

# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
    parent[i] = i

# union 연산을 각각 수행
for i in range(e):
    a, b = map(int, input().split())
    union_parent(parent, a, b)

# 각 원소가 속한 집합 출력
print('각 원소가 속한 집합: ', end='')
for i in range(1, v + 1):
    print(find_parent(parent, i), end='')

print()

# 부모 테이블 내용 출력
print('부모 테이블: ', end='')
for i in range(1, v + 1):
    print(parent[i], end='')

 

 

경로 압축(Path Compression) 기법을 이용해 O(V)의 시간 복잡도를 개선한다.

 

def find_parent(parent, x):
    if parent[x] != x:
        parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]

경로 압축 코드를 이용하면 각 노드에 대하여 find 함수를 호출한 이후에, 해당 노드의 루트 노드가 바로 부모 노드가 된다. ➡ 루트 노드에 더 빨리 접근할 수 있어서 시간 복잡도가 계산된다.

 

개선된 서로소 집합 알고리즘 코드

# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
    # 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
    if parent[x] != x:
        parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]


# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
    a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    if a < b:
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b


# 노드와 개수와 간선(union 연산)의 개수 입력받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1)  # 부모 테이블 초기화

# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
    parent[i] = i

# union 연산을 각각 수행
for i in range(e):
    a, b = map(int, input().split())
    union_parent(parent, a, b)

# 각 원소가 속한 집합 출력
print('각 원소가 속한 집합: ', end='')
for i in range(1, v + 1):
    print(find_parent(parent, i), end='')

print()

# 부모 테이블 내용 출력
print('부모 테이블: ', end='')
for i in range(1, v + 1):
    print(parent[i], end='')

 

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서로소 집합을 활용한 사이클 판별

• 무방향 그래프 내에서 사이클 판별( cf. 방향 그래프에서의 사이클 판별은 DFS 이용)

      

알고리즘

1. 각 간선을 확인하며 두 노드의 루트 노드를 확인한다.

   1-1. 루트 노드가 서로 다르다면 두 노드에 대하여 union 연산을 수행한다.

   1-2. 루트 노드가 서로 같다면 사이클이 발생한 것이다.

2. 그래프에 포함되어 있는 모든 간선에 대하여 1번 과정을 반복한다.

 

# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
    # 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
    if parent[x] != x:
        parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]


# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
    a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    if a < b:
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b


# 노드와 개수와 간선(union 연산)의 개수 입력받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1)  # 부모 테이블 초기화

# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
    parent[i] = i

cycle = False  # 사이클 발생 여부

for i in range(e):
    a, b = map(int, input().split())
    # 사이클이 발생한 경우 종료
    if find_parent(parent, a) == find_parent(parent, b):
        cycle = True
        break
    # 사이클이 발생하지 않았다면 합집합(union) 수행
    else:
        union_parent(parent, a, b)

if cycle:
    print("사이클 발생")
else:
    print("사이클 발생x")