[그래프] 10 - 1 (2) 신장 트리

신장 트리 (Spanning Tree)

• 하나의 그래프가 있을 때 모든 노드를 포함하면서 사이클이 존재하지 않는 부분 그래프
• 간선의 개수 = 노드의 개수 -1

 

크루스칼 알고리즘

• 최소 신장 트리 알고리즘 ➡ 신장 트리 중에서 최소 비용으로 만들 수 있는 신장 트리를 찾는 알고리즘
• 그리디 알고리즘
• 모든 간선에 대하여 정렬을 수행한 뒤에 가장 거리가 짧은 간선부터 집합에 포함시킨다.
• 핵심 원리 : 가장 거리가 짧은 간선부터 차례대로 집합에 추가 ( 사이클을 발생시키는 간선은 제외하고 연결한다.)
• O(ElogE) (E : 간선의 개수) ➡ 간선을 정렬하는 작업이 O(ElogE) 로 가장 시간이 오래 걸림

알고리즘

1. 간선 데이터를 비용에 따라 오름차순으로 정렬한다.

2. 간선을 하나씩 확인하며 현재의 간선이 사이클을 발생시키는지 확인한다.

   2-1. 사이클이 발생하지 않는 경우 최소 신장 트리에 포함시킨다.

   2-2. 사이클이 발생하느 경우 최소 신장 트리에 포함시키지 않는다.

3. 모든 간선에 대하여 2번의 과정을 반복한다.

 

# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
    # 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
    if parent[x] != x:
        parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]


# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
    a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    if a < b:
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b


# 노드와 개수와 간선(union 연산)의 개수 입력받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1)  # 부모 테이블 초기화

# 모든 간선을 담을 리스트와 최종 비용을 담을 변수
edges = []
result = 0

# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
    parent[i] = i

# 모든 간선에 대한 정보를 입력받기
for _ in range(e):
    a, b, cost = map(int, input().split())
    # 비용 순으로 정렬하기 위해서 튜플의 첫 번째 원소를 비용으로 설정
    edges.append((cost, a, b))

# 간선을 비용순으로 정렬
edges.sort()

# 간선을 하나씩 확인하며
for edge in edges:
    cost, a, b = edge
    # 사이클을 발생하지 ㅇ낳는 경우에만 집합에 포함
    if find_parent(parent, a) != find_parent(parent, b):
        union_parent(parent, a, b)
        result += cost

print(result)