[그래프] 10 - 3 도시 분할 계획

N개의 집과 집들을 연결하는 M개의 길이 있다. 길은 어느 방향으로든지 다닐수 있고, 길을 유지하는데 드는 유지비가 있다. 마을을 2개로 분할하려고 할 때 각 분리된 마을 안에 집들이 서로 연결되어야 한다. 즉, 각 분리된 마을 내의 두 집 사이에 경로가 항상 존재해야 한다. 마을에는 집이 하나 이상 있어야 한다.

이 조건을 만족하도록 길들을 없애고 나머지 길의 유지비의 합을 최소로 하는 프로그램을 작성하시오.

 

입력 조건

첫째 줄에 집의 개수 N, 길의 개수 M이 주어진다. (2<=N<=100,000, 1<=M<=1,000,000)

그 다음 줄부터 M줄에 걸쳐 길의 정보가 a,b,c 3개의 정수로 공백으로 구분되어 주어지는데 a번 집과 b번 집을 연결하는 길의 유지비가 C (1<=C<=1,000) 라는 뜻이다.

 

출력 조건

첫째 줄에 길을 없애고 남은 유지비 합의 최솟값을 출력한다.

 

해설

✨ 핵심 아이디어 : 잔체 그래프에서 2개의 최소 신장 트리 만들기

👉 크루스칼 알고리즘으로 최소 신장 트리를 찾은 뒤에 최소 신장 트리를 구성하는 간선 중에서 가장 비용이 큰 간선을 제거한다.

 

입력 예시

7 12
1 2 3
1 3 2
3 2 1
2 5 2
3 4 4
7 3 6
5 1 5
1 6 2
6 4 1
6 5 3
4 5 3
6 7 4

출력 예시

8

# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
    # 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
    if parent[x] != x:
        parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
    return  parent[x]

# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
    a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    if a < b :
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b

# 노드와 개수와 간선(union 연산)의 개수 입력받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0]*(v+1) # 부모 테이블 초기화

# 모든 간선을 담을 리스트와 최종 비용을 담을 변수
edges = []
result = 0

# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
    parent[i] = i

# 모든 간선에 대한 정보를 입력받기
for _ in range(e):
    a, b, cost = map(int, input().split())
    # 비용 순으로 정렬하기 위해서 튜플의 첫 번째 원소를 비용으로 설정
    edges.append((cost, a, b))

# 간선을 비용순으로 정렬
edges.sort()
last = 0 # 최소 신장 트리에 포함되는 간선 중에서 가장 비용이 큰 간선

# 간선을 하나씩 확인하며
for edge in edges:
    cost, a,b = edge
    # 사이클이 발생하지 않는 경우에만 집합에 포함
    if find_parent(parent, a) != find_parent(parent, b):
        union_parent(parent,a,b)
        result += cost
        last = cost

print(result - last)